Maison»Facteur en mathématiques - Définition, types, propriétés, exemples, faits
- Qu'est-ce qu'un facteur en mathématiques ?
- Comment trouver les facteurs d'un nombre
- Différents types de facteurs
- Exemples résolus sur le facteur en mathématiques
- Problèmes de pratique sur le facteur en mathématiques
- Foire aux questions sur la factorisation
Qu'est-ce qu'un facteur en mathématiques ?
Un facteur d'un nombre est un nombre qui divise le nombre donné de manière égale ou exacte, sans laisserreste.
Notez que lors de l'étude des facteurs d'un nombre, nous ne considérons que les nombres entiers positifs. Un facteur ne peut pas être une fraction ou un nombre décimal. De plus, comme la division par 0 n'est pas définie, 0 ne peut être un facteur d'aucun nombre.
Pour vérifier si x est un diviseur d'un certain nombre n, il suffit de diviser n par x. Si le reste est 0, alors x est un facteur de n. Sinon, x n'est pas un facteur de n.
Exemples:
| Division | Reste | Le nombre est-il un facteur ? |
|---|---|---|
| $21 \div 7 = 3$ | Reste $= 0$ | Oui, 7 est un facteur de 21. |
| $6 \div 3 = 2$ | Reste $= 0$ | Oui, 3 est un facteur de 6. |
| $8 \div 2 = 4$ | Reste $= 0$ | Oui, 2 est un facteur de 8. |
| $5 \div 1 = 5$ | Reste $= 0$ | Oui, 1 est un facteur de 5. |
Nous savons quedivisionetmultiplicationsontopérations inverses(opérations ci-contre). Ainsi, nous pouvons également définir des facteurs en mathématiques en termes de multiplication.
Si nous pouvons exprimer le nombre donné comme le produit de deux entiers positifs, alors les deux entiers sont des facteurs du nombre donné. Une formule générale à retenir est que a et b sont des facteurs du produit ab.
Exemples:
| Produit | Facteurs |
|---|---|
| 7 $ \ fois 3 = 21 $ | 7 et 3 sont des facteurs de 21. |
| $2 \fois 4 = 8$ | 2 et 4 sont des facteurs de 8. |
| $2 \fois 3 = 6$ | 2 et 3 sont des facteurs de 6. |
| 9 $ \ fois 3 = 27 $ | 3 et 9 sont des facteurs de 27. |
| 7 $ \ fois 5 = 35 $ | 5 et 7 sont des facteurs de 35. |
Jeux connexes
Facteur d'un nombre : définition
Un facteur d'un nombre peut être défini comme un nombre qui divise le nombre donné sans laisser de reste.
Feuilles de travail connexes
Comment trouver les facteurs d'un nombre
Il existe différentes méthodes pour trouver des facteurs, comme la multiplication et la division. Nous pouvons également utiliser les règles de divisibilité pour trouver les facteurs d'un nombre en vérifiant si le nombre donné estdivisiblepar un certain ensemble de nombres ou non.
Trouver les facteurs d'un nombre par la méthode de multiplication(Gras)
Si nous pouvons exprimer le nombre donné comme le produit de deuxnombres entiers, alors les nombres multipliés sont des facteurs du produit.
Ainsi, pour trouver tous les facteurs d'un nombre, trouver toutes les paires de nombres qui, une fois multipliées, donnent le nombre donné sous forme de produit.
Exemple 1:Considérons le nombre 8. 8 peut être écrit comme
$8 = 1 \fois 8$
$8 = 2 \fois 4$
Par conséquent, les facteurs de 8 sont 1, 2, 4, 8.
Exemple 2 :
| Produit | Facteurs de 18 |
|---|---|
| $1 \fois 18 = 18$ | Les facteurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. |
| $2 \fois 9 = 18$ | |
| 3 $ \ fois 6 = 18 $ |
Trouver les facteurs d'un nombre par la méthode de division (gras)
On peut trouver les diviseurs d'un nombre en divisant ce nombre par tous les diviseurs possibles.
Pour trouver tous les facteurs d'un nombre n en utilisant la méthode de division, divisez le nombre par tous les nombres naturels inférieurs à n. Identifiez les nombres qui divisent complètement le nombre donné.
Notez que lorsque vous identifiez un tel facteur par la méthode de division, lequotientobtenu dans cette division est également un facteur.
Exemple:Trouvez tous les facteurs du nombre 10.
| Division | Le nombre est-il un facteur de 10 ? |
| $10 \div 1 = 10$ et reste $= 0$ | Oui, 1 est un facteur de 10. (En outre, le quotient 10 est également un facteur de 10.) |
| $10 \div 2 = 5$ et reste $= 0$ | Oui, 2 est un facteur de 10. (En outre, 5 est également un facteur de 10.) |
| $10 \div 3 = 3$ et reste $= 1$ | Non, 3 n'est pas un facteur de 10. |
| $10 \div 4 = 2$ et reste $= 2$ | Non, 4 n'est pas un facteur de 10. |
| $10 \div 5 = 2$ et reste $= 0$ | Oui, 5 est un facteur de 10. |
| $10 \div 6 = 1$ et reste $= 4$ | Non, 6 n'est pas un facteur de 10. |
| $10 \div 7 = 1$ et reste $= 3$ | Non, 7 n'est pas un facteur de 10. |
| $10 \div 8 = 1$ et reste $= 2$ | Non, 8 n'est pas un facteur de 10. |
| $10 \div 9 = 1$ et reste $= 1$ | Non, 9 n'est pas un facteur de 10. |
| $10 \div 10 = 1$ et reste $= 0$ | Oui, 10 est un facteur de 10. |
Ainsi, les facteurs de 10 sont 1, 2, 5 et 10.
Propriétés des facteurs
- Le plus petit facteur de n'importe quel nombre est 1.
- Le plus grand facteur de n'importe quel nombre est le nombre lui-même.
- Tous les nombres entiers ont un nombre fini de facteurs.
- Un facteur est toujoursmoins queou égal au nombre ; il ne peut jamais être plus grand que le nombre.
- À l'exception de 0 et 1, chaque nombre entier a au moins deux facteurs : 1 et le nombre lui-même.
Paires de facteurs
UNpaire de facteursfait référence à la paire d'entiers qui, multipliés ensemble, nous donnent le nombre requis. Les paires de facteurs d'un nombre n'incluent pas les fractions.
Comme mentionné précédemment, nous ne considérons que les facteurs positifs lorsque nous étudions ou énumérons les facteurs d'un nombre. Cependant, le concept de paires de facteurs comprend à la fois des entiers positifs et négatifs.
Pour chaque paire de facteurs positifs, nous avons une paire de facteurs négatifs correspondante, puisque le produit de deux entiers négatifs est toujours positif.
| Paires de facteurs positifs de 14 | Paires de facteurs négatifs de 14 |
|---|---|
| $1 \fois 14 = 14 \Rightarrow (1, 14)$ | $(\;-\;1) \times (\;-\;14) \Rightarrow = 14 (\;-\;1,\; \;-\;14)$ |
| $2 \fois 7 = 14 \Rightarrow (2, 7)$ | $(\;-\;2)\times (\;-\;7) = 14 \Rightarrow (\;-\;2,\; \;-\;7)$ |
Différents types de facteurs
- Facteurs premiers:Les facteurs d'un nombre qui sont aussi des nombres premiers sont appelés facteurs premiers.nombres premierssont des nombres qui n'ont que deux diviseurs, 1 et le nombre lui-même.
Par exemple, les facteurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6. Parmi ceux-ci, les facteurs premiers de 6 sont 2 et 3.
- Des facteurs communs: Des facteurs communsde deux nombres sont les facteurs communs (ou partagés par) les deux nombres.
Facteurs de 4 :1, 2, 4
Facteurs de 6 :1, 2, 3, 6
Facteurs communs de 4 et 6 : 1, 2
- Le plus grand facteur commun:Le plus grand nombre parmi les facteurs communs identifiés entre les deux nombres est appelé le plus grand facteur commun (GCF). Dans l'exemple précédent, les facteurs communs de 4 et 6 sont 1 et 2. Le PGCF est 2.
Factorisation première
Lorsque nous écrivons un nombre comme le produit de tous ses facteurs premiers, cela s'appelle la factorisation en nombres premiers. Tout nombre en factorisation premier est un nombre premier. Pour écrire le nombre sous la forme d'un produit de facteurs premiers, nous devrons parfois également répéter les facteurs.
Exemple 1:Pour écrire la factorisation première de 8, on peut écrire
$8 = 2 \fois 2 \fois 2$
Le facteur premier 2 est répété trois fois.
Exemple 2 :Factorisation première de 30
30 $ = 2 \fois 3 \fois 5$
Applications réelles de la factorisation
Partage égal :Si six personnes se réunissent pour manger une pizza entière coupée en 24 tranches, il serait juste que chacun reçoive un nombre égal de tranches. Par conséquent, cette pizza peut être divisée enparts égalescar 6 (le nombre de personnes) est un facteur de 24 (le nombre de parts de pizza). Lorsque vous divisez 24 par 6, vous obtenez 4, et chaque individu reçoit quatre tranches !
Affacturage et argent :L'échange d'argent et ses divisions en unités plus petites dépendent fortement de l'affacturage. Par exemple, quatre trimestres équivalent à un dollar en Amérique.
Faits sur les facteurs
- Si un nombre a plus de deux facteurs (mais un nombre fini de facteurs), on l'appelle unnombre composé.
- Les facteurs ne sont jamaisdécimalesou fractions ; ils ne sont queentiers.
- Tousnombres pairsont 2 pour diviseur commun.
- 5 est un diviseur de tous les nombres qui se terminent par 0 et 5.
- Tous les nombres se terminant par un 0 ont 2, 5 et 10 comme facteurs.
- Si la factorisation première d'un nombre est de la forme $p^{a}\;q^{b}$, où p et q sont ses
facteurs premiers, alors le nombre total de facteurs d'un nombre donné est donné par
$(a + 1)(b + 1)$, où a et b sont les exposants de la factorisation première.
Exemple:$18 =2^{1} \fois 3^{2}$
Nombre total de facteurs de 18 $ = (1 + 1)(2 + 1) = 6 $
Les facteurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Exemples résolus sur le facteur en mathématiques
Exemple 1 : Trouver tous les facteurs de 20.
Solution:
Étape 1 : Écrivez tous les nombres de 1 à 20.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Étape 2 : Vérifiez maintenant lesquels de ces nombres sont divisibles par 20 et ne laissez aucun reste.
$20 \div 1 = 20$ et reste $= 0$
$20 \div 2 = 10$ et reste $= 0$
$20 \div 3 = 6$ et reste $= 2$ (non divisible)
Continuez à diviser 20 par chacun de ces nombres.
Étape 3 : Les facteurs de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20.
Exemple 2 : Trouver tous les diviseurs de 31.
Solution:
31 est un nombre premier. Les deux seuls nombres qui divisent complètement 31 sont 1 et 31.
Par conséquent, les facteurs de 31 sont 1 et 31.
Exemple 3 : Trouver les facteurs premiers de 144.
Solution:
La factorisation première est la méthode d'expression d'un nombre donné comme le produit de ses facteurs premiers. Les facteurs premiers sont des facteurs qui sont également des nombres premiers. Les facteurs de tout nombre premier sont 1 et le nombre lui-même. Par exemple, 13 est un nombre premier car les diviseurs de ce nombre sont 1 et 13.
Considérez le nombre 144. Commencez par diviser 144 par le plus petit facteur premier possible, qui est 2.
144 $ = 2 \ fois 72 $
144 $ = 2 \fois 2 \fois 36$
$144 = 2 \fois 2 \fois 2 \fois 18$
$144 = 2 \fois 2 \fois 2 \fois 2 \fois 9$
$144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
Ainsi, les facteurs premiers de 144 sont 2 et 3.
Problèmes de pratique sur le facteur en mathématiques
1Laquelle des options suivantes représente tous les facteurs du nombre 10.
1, 2, 5, 10
1, 2, 3, 7
3, 5, 9, 10
1, 3, 5, 10
CorrectIncorrect
La bonne réponse est : 1, 2, 5, 10
Les facteurs de 10 sont 1, 2, 5 et 10.
Nous pouvons facilement éliminer toutes les autres options dans lesquelles le facteur 3 est présent puisque le nombre 3 ne divise pas complètement le nombre 10.
2Laquelle des options suivantes représente tous les facteurs du nombre 27.
3, 9, 27, 1
1, 3, 9, 4
5, 9, 4, 0
2, 3, 5, 1
CorrectIncorrect
La bonne réponse est : 3, 9, 27, 1
Les facteurs de 27 sont 1, 3, 9 et 27.
Notez que nous pouvons facilement éliminer d'autres options puisque les nombres 4 et 5 ne sont pas des facteurs de 27.
3Laquelle des options suivantes représente tous les facteurs de 12 ?
1, 3, 6, 7, 9
2, 6, 12, 1, 0
4, 3, 12, 9
1, 2, 3, 4, 6, 12
CorrectIncorrect
La bonne réponse est : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Les facteurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Ces nombres divisent 12 de manière égale.
4Sélectionnez l'option avec tous les facteurs du nombre 15 ?
5, 10, 15, 1
1, 3, 5, 15
3, 5, 7
1, 2, 3, 5
CorrectIncorrect
La bonne réponse est : 1, 3, 5, 15
Il n'y a plus de reste lorsque 15 est divisé par 1, 3, 5 et 15.
Foire aux questions sur la factorisation
Quels sont les facteurs en mathématiques ?
Un facteur est un nombre qui peut être multiplié pour créer un nombre spécifique en mathématiques (par exemple, 5 et 8 sont des facteurs de 40).
Comment l'affacturage est-il utilisé dans la vraie vie ?
Dans la vraie vie, l'affacturage est une compétence précieuse. Les applications typiques incluent la division de quelque chose en parts égales, l'échange d'argent, la comparaison de prix, la compréhension du temps et les calculs en voyage.
Quelle est l'importance de se renseigner sur les facteurs premiers?
Les nombres premiers sont utilisés dans la factorisation première pour décomposer les nombres composés en leurs facteurs premiers, ce qui est important dans divers calculs mathématiques et résolution de problèmes. Nous pouvons facilement trouver LCM et GCD de deux nombres en utilisant la factorisation première. Les nombres premiers ont également des applications importantes en théorie des nombres, en cryptographie et dans le domaine de la sécurité informatique.
Comment trouvez-vous le facteur en mathématiques?
Voici un guide étape par étape pour trouver le facteur de n'importe quel nombre en mathématiques.
- Commencez par considérer les plus petit* nombres naturels comme 2, 3, etc.
- Divisez le nombre par le plus petit nombre naturel par lequel il pourrait être divisé.
- Continuez à diviser le nombre par le plus petit nombre naturel possible, ce qui donne 0 comme reste.
- Arrêtez-vous lorsque le nombre est entièrement divisé pour donner 1 comme quotient.
- Les nombres que vous avez utilisés pour diviser le nombre d'origine sont les facteurs du nombre.
Que signifie facteur en mathématiques ?
La signification du terme «facteur» en mathématiques peut être expliquée comme un nombre qui divise exactement le nombre donné avec 0 reste.
Qu'est-ce qu'un facteur de multiplication ?
Si nous multiplions deux nombres pour obtenir un produit, chacun des nombres multipliés est considéré comme un facteur du produit.
Quels sont les facteurs de 24 ?
Les facteurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
