Le PGCF de deux entiers non nuls ou plus, x et y, est le plus grand entier positif m, qui divise à la fois x et y. Lele plus grand facteur communest communément appelé GCF. Ici, le plus grand peut être remplacé par le plus élevé et le facteur peut être remplacé par un diviseur. Ainsi, le plus grand facteur commun est également appelé plus grand diviseur commun (HCD), plus grand facteur commun (HCF) ou plus grand diviseur commun (PGCD).
GCF est utilisé presque tout le temps avec des fractions, qui sont très utilisées dans la vie de tous les jours. Afin de simplifier une fraction ou un rapport, vous pouvez trouver le PGCF du dénominateur et du numérateur et obtenir la forme réduite requise. De plus, si nous regardons autour de nous, la disposition de quelque chose en lignes et en colonnes, la distribution et le regroupement, tout cela nécessite la compréhension de GCF.
| 1. | Qu'est-ce que le plus grand facteur commun (GCF) ? |
| 2. | Comment trouver GCF ? |
| 3. | GCF et LCM |
| 4. | FAQ sur le GCF |
Qu'est-ce que le plus grand facteur commun (GCF) ?
LeGCF (plus grand facteur commun)de deux nombres ou plus est le plus grand nombre parmi tous les nombres communsfacteursdes nombres donnés. Le PGCF de deux nombres naturels x et y est le plus grand nombre possible qui divise à la fois x et y sans laisser de tracereste. Pour calculer le GCF, il existe trois méthodes courantes : la division,multiplication, et la factorisation en nombres premiers.
Exemple:Trouvons le plus grand diviseur commun de 18 et 27.
Solution:
Premièrement, nous énumérons les facteurs de 18 et 27, puis nous découvrons les facteurs communs.
Facteurs de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Facteurs de 27: 1, 3, 9, 27
Les diviseurs communs de 18 et 27 sont 1, 3 et 9. Parmi ces nombres, 9 est le plus grand nombre. Ainsi, leGCF du 18 et du 27est 9. Cela s'écrit : GCF(18, 27) = 9.
Un facteur d'un nombre est sondiviseuraussi. Par conséquent, le plus grand facteur commun est également appelé lePlus grand diviseur commun(ou) GCD.Dans l'exemple ci-dessus, le plus grand diviseur commun (PGCD) de 18 et 27 est 9 qui peut s'écrire :
PGCD (18, 27) = 9.
Comment trouver GCF ?
Voici les trois méthodes pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres :
- Lister les facteurs communs
- Factorisation première
- Méthode de division
GCF par facteurs de liste
Dans cette méthode, les facteurs des deux nombres peuvent être répertoriés, puis il devient facile de vérifier les facteurs communs. En marquant les facteurs communs, nous pouvons choisir le plus grand parmi tous. Regardons l'exemple donné ci-dessous :
Exemple:Quel est le GCF de 30 et 42 ?
Solution:
- Étape 1 - Énumérez les facteurs de chaque nombre.
- Étape 2 - Marquez tous les facteurs communs.
- L'étape 3 - 6 est le facteur commun et le plus grand.
Donc,FPCG de 30 et 42= 6. Cette méthode peut également être utilisée pour trouver le PGCF de trois nombres ou plus.
Trouver le plus grand facteur commun en énumérant les facteurs peut être difficile si les nombres sont plus grands. Dans de tels cas, nous utilisons lefactorisation premièreet les méthodes de division pour trouver le GCF.
GCF par factorisation première
La factorisation première est une façon d'exprimer un nombre sous la forme d'un produit de ses facteurs premiers, en partant du plus petit facteur premier de ce nombre. Regardons l'exemple donné ci-dessous :
Exemple:Quel est le GCF de 60 et 90 ?
Solution:
- Étape 1 - Représentez les nombres sous la forme de facteurs premiers.
- Étape 2 - GCF est le produit des facteurs communs à chacun des nombres donnés.
Ainsi, GCF (60,90) = 21× 31× 51= 30. Par conséquent,GCF de 60 et 90= 30. Nous pouvons également trouver le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus par cette méthode.
Trouver le GCF par méthode de division
La division est une méthode de regroupement des objets en groupes égaux, alors que pour les grands nombres, nous suivonsdivision longue, qui décompose un problème de division en une série d'étapes plus faciles. Le plus grand facteur commun (GCF) d'un ensemble denombres entiersest le plus grandentier positifqui divise tous les nombres donnés, sans laisser de reste. Regardons l'exemple donné ci-dessous :
Exemple:Trouvez le GCF de 198 et 360 en utilisant la méthode de division.
Solution:
Parmi les deux nombres donnés, 360 est le plus grand nombre et 198 est le plus petit.
- Étape 1 - Divisez le plus grand nombre par le plus petit en utilisant la division longue.
- Étape 2 - Si le reste est 0, alors le diviseur est le GCF. Si le reste n'est pas 0, alors faites le reste de l'étape ci-dessus comme diviseur et le diviseur de l'étape ci-dessus comme ledividendeet effectuez à nouveau la division longue.
- Étape 3 - Si le reste est 0, alors le diviseur de la dernière division est le GCF. Si le reste n'est pas 0, alors nous devons répéter l'étape 2 jusqu'à ce que nous obtenions le reste 0.
Par conséquent, le PGCF des deux nombres donnés est le diviseur de la dernière division. Dans ce cas, le diviseur de la dernière division est 18. Par conséquent, le PGCF de 198 et 360 est 18. Cette méthode est la méthode la plus appropriée pour trouver le PGCF de grands nombres. Voyons comment utiliser la méthode de division pour trouver le plus grand facteur commun de trois nombres. Afin de trouver le PGCF de trois nombres par division longue, les étapes suivantes doivent être suivies :
- Tout d'abord, nous allons trouver le GCF de deux des nombres.
- Ensuite, nous trouverons le GCF du troisième nombre et le GCF des deux premiers nombres.
Exemple:Trouvez le GCF de 126, 162 et 180.
Tout d'abord, nous allons trouver le GCF des deux nombres 126 et 162. [Vous pouvez choisir deux nombres parmi les trois nombres donnés]
Ainsi, GCF de 126 et 162 = 18 ........(1).
Ensuite, nous trouverons le GCF du troisième nombre, qui est 180, et le GCF 18 ci-dessus en utilisant la même méthode.
Ainsi, GCF de 180 et 18 = 18 ......(2).
De (1) et (2), GCF(126, 162, 180) = 18. Par conséquent, GCF de 126, 162 et 180 = 18.
GCF et LCM
Le plus grand diviseur commun est le plus grand nombre qui divise les nombres donnés sans laisser de reste. D'autre part, lePPCM (plus petit commun multiple)Est le plus petit communplusieursdes nombres donnés qui peuvent être divisés par les nombres donnés exactement, sans laisser de reste. Par exemple, trouvons le GCF et le LCM des nombres 6 et 8.
Lefacteurs de 6sont 1, 2, 3, 6, et lesfacteurs de 8sont 1, 2, 4, 8. Ainsi, les facteurs communs de 6 et 8 sont 1 et 2, dont 2 est le facteur commun le plus élevé. Ainsi, GCF (6, 8) = 2. Maintenant, les premiersmultiples de 6sont 6, 12, 18, 24, 30, ..., et les premiersmultiples de 8sont 8, 16, 24, 32, ... Parmi ceux-ci, le moinsMultiple communde 6 et 8 est 24. Ainsi, LCM (6, 8) = 24.
Un très intéressantrelation entre GCF et LCMde deux nombres est que le produit de GCF et LCM de deux nombres est égal auproduitdes nombres. Pour deux nombres quelconques a et b, nous avons, LCM (a, b) × GCF (a, b) = a × b. Vérifions-le en utilisant l'exemple ci-dessus de 6 et 8. Soit a = 6 et b = 8.
LCM (6, 8) × FPC (6, 8) = 6 × 8
24 × 2 = 6 × 8
48 = 48
Donc vérifié.
Maintenant, apprenons la différence entre GCF et LCM dans la section ci-dessous.
Différence entre GCF et LCM
Le PGCF ou le plus grand facteur commun de deux nombres ou plus est le plus grand facteur parmi tous les facteurs communs des nombres donnés, tandis que le PPCM ou le plus petit commun multiple de deux nombres ou plus est le plus petit nombre parmi tous les multiples communs du donné. Nombres. Le tableau suivant montre la différence entre GCF et LCM :
| Plus grand facteur commun (GCF) | Plus petit commun multiple (LCM) |
|---|---|
Le PGCF de deux nombres naturels a et b est le plus grand nombre naturel x, qui est un facteur à la fois de a et de b. | Le LCM de deux nombres naturels a et b est le plus petit nombre y, multiple de a et b. |
Dans l'intersection des ensembles de facteurs communs, c'est la plus grande valeur. | A l'intersection des ensembles de multiples communs, c'est la valeur minimale. |
| Représenté par, GCF(a, b) = x | Représenté par, LCM(a, b) = y |
► Sujets connexes
Consultez ces articles liés au concept du plus grand facteur commun (GCF) en mathématiques.
- Méthodes de factorisation
- Calculateur du FVC
- Formule FVC
FAQ sur le GCF
Qu'entend-on par plus grand facteur commun (GCF) ?
Le plus grand nombre parmi tous lesdes facteurs communsde deux nombres ou plus est appelé le plus grand facteur commun ou PGCF. Pour deuxNombres, le PGCF est le plus grand nombre qui divise les deux nombres donnés. Le GCF peut être calculé en utilisant la baseopérations arithmétiquesen mathématiques, c'est-à-dire la division, la multiplication et la factorisation première.
Comment trouver le plus grand facteur commun (GCF) ?
Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux ou plusnombres naturels, il existe 3 méthodes qui peuvent être utilisées - la liste des facteurs communs, la factorisation première etdivisionméthode. Chaque méthode nécessite une division et une multiplication pour obtenir le GCF. Par exemple, leFPGC de 14 et 35est 7. En utilisant la méthode de listage des facteurs communs,facteurs de 14sont 1, 2, 7, 14 et lesfacteurs de 35sont 1, 5, 7, 35. Les deux facteurs communs sont 1 et 7 dont 7 est le plus grand. Par conséquent, 7 est le PGCF de 14 et 35.
Quel est le plus grand diviseur commun de deux nombres premiers ?
Un nombre premier n'a que deux diviseurs (1 et lui-même). Dès lors, deuxnombres premiersne peut pas avoir d'autre facteur commun que 1. Par conséquent, le plus grand facteur commun de deux nombres premiers est toujours 1. Par exemple, leplus grand diviseur commun de 5 et 7est 1.
Quel est le plus grand facteur commun de 24 et 54 ?
Lefacteurs de 24sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Lesfacteurs de 54sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54. Les diviseurs communs de 24 et 54 sont 1, 2, 3 et 6.GCF de 24 et 54est 6.
Qu'est-ce que le GCF de 15 et 20 ?
Lefacteurs de 15sont 1, 3, 5 et 15. Lesfacteurs de 20sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20. Les diviseurs communs de 15 et 20 sont 1 et 5. Ainsi, lesFPGC de 15 et 20est 5.
Comment trouver GCF et LCM ?
GCF (plus grand facteur commun) et LCM (plus petit commun multiple) peuvent être trouvés par l'une des méthodes écrites ci-dessous :
- Méthode d'inscription
- Méthode de factorisation première
- Méthode de division
Toutes les méthodes sont utilisées différemment pour GCF et LCM.
GCF et HCF sont-ils identiques ?
Le plus grand facteur commun est abrégé en GCF et est également connu sous le nom dePlus grand dénominateur commun(HCF). Donc, oui, GCF et HCF sont les mêmes.
Le GCF est-il supérieur au LCM ?
Le LCM est le plus petit multiple commun des nombres donnés qui peut être divisé par les deux nombres, tandis que le GCF est le plus grand facteur commun des nombres donnés qui divisent les deux nombres. Ainsi, pour deux nombres quelconques, le LCM des nombres est supérieur au GCF des nombres.
Comment trouver le plus grand facteur commun d'un polynôme ?
Le plus grand facteur commun d'unpolynômepeut être trouvé en suivant les étapes ci-dessous :
- Étape 1:Observe attentivement tous les termes du polynôme donné.
- Étape 2:Trouvez les nombres ou les variables qui sont communs à tous les termes.
Ce sera le GCF requis du polynôme.
Comment factorisez-vous le GCF ?
Le PGCF de deux nombres ou plus peut être obtenu en utilisant la méthode de factorisation première qui ne se fait qu'en quelques étapes. Ils sont:
- Énumère les facteurs premiers de tous les nombres.
- Encerclez les facteurs premiers communs à tous les nombres.
- Multipliez tous les nombres encerclés pour trouver le GCF.
