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Objectifs d'apprentissage
- Simplifier les expressions à l'aide de la propriété distributive
- Évaluer des expressions à l'aide de la propriété distributive
soyez prêt!
Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.
- Multiplier : 3 (0,25). Si vous avez manqué ce problème, passez en revueExemple 5.3.5
- Simplifier : 10 − (−2)(3). Si vous avez manqué ce problème, passez en revueExemple 3.7.5.
- Combinez des termes similaires : 9a + 17 + 3a − 2. Si vous avez manqué ce problème, revoyezExemple 2.3.10.
Simplifier les expressions à l'aide de la propriété distributive
Supposons que trois amis vont au cinéma. Ils ont chacun besoin de 9,25 $ ; c'est-à-dire 9 dollars et 1 quart. De combien d'argent ont-ils besoin en tout ? Vous pouvez penser aux dollars séparément des trimestres.
Ils ont besoin de 3 fois 9 $, donc 27 $, et 3 fois 1 quart, donc 75 cents. Au total, ils ont besoin de 27,75 $. Si vous envisagez de faire le calcul de cette manière, vous utilisez la propriété distributive.
Définition : propriété distributive
Si a, b, c sont des nombres réels, alors a(b + c) = ab + ac.
De retour à nos amis au cinéma, nous pourrions montrer les étapes mathématiques que nous suivons pour trouver le montant total d'argent dont ils ont besoin comme ceci :
\[\begin{split} 3(9&.25) \\ 3(9 &+ 0.25) \\ 3(9) &+ 3(0.25) \\ 27 &+ 0.75 \\ 27&.75 \end{split}\]
En algèbre, nous utilisons la propriété distributive pour supprimer les parenthèses lorsque nous simplifions les expressions. Par exemple, si on nous demande de simplifier l'expression 3(x + 4), l'ordre des opérations dit de travailler d'abord entre parenthèses. Mais nous ne pouvons pas additionner x et 4, car ce ne sont pas des termes semblables. Nous utilisons donc la propriété distributive, comme illustré dans l'exemple \(\PageIndex{1}\).
Exemple \(\PageIndex{1}\) :
Simplifier : 3(x + 4).
Solution
| Distribuer. | 3 • x + 3 • 4 |
| Multiplier. | 3x + 12 |
Exercice \(\PageIndex{1}\) :
Simplifier : 4(x + 2).
- Répondre
-
\(4x+8\)
Exercice \(\PageIndex{2}\) :
Simplifier : 6(x + 7).
- Répondre
-
6x + 42
Certains élèves trouvent utile de dessiner des flèches pour leur rappeler comment utiliser la propriété distributive. Alors la première étape de l'exemple 7.17 ressemblerait à ceci :
\[3 \cdot x + 3 \cdot 4\]
Exemple \(\PageIndex{2}\) :
Simplifier : 6(5y + 1).
Solution
| Distribuer. | $$6 \cdot 5y + 6 \cdot 1$$ |
| Multiplier. | $$30ans + 6$$ |
Exercice \(\PageIndex{3}\) :
Simplifier : 9(3y + 8).
- Répondre
-
27a + 72
Exercice \(\PageIndex{4}\) :
Simplifier : 5(5w + 9).
- Répondre
-
25w + 45
La propriété distributive peut être utilisée pour simplifier des expressions qui semblent légèrement différentes de a(b + c). Voici deux autres formes.
Définition : propriété distributive
Si a, b, c sont des nombres réels, alors\[a(b + c) = ab + ac$$Autres formes$$a(b − c) = ab − ac$$$$(b + c)a = ba + ca\]
Exemple \(\PageIndex{3}\) :
Simplifier : 2(x − 3).
Solution
| Distribuer. | $$2 \cdot x + 2 \cdot 3$$ |
| Multiplier. | $$2x - 6$$ |
Exercice \(\PageIndex{5}\) :
Simplifier : 7(x − 6).
- Répondre
-
7x - 42
Exercice \(\PageIndex{6}\) :
Simplifier : 8(x − 5).
- Répondre
-
8x - 40
Vous souvenez-vous comment multiplier une fraction par un nombre entier ? Nous devrons le faire dans les deux exemples suivants.
Exemple \(\PageIndex{4}\) :
Simplifiez : \(\dfrac{3}{4}\)(n + 12).
Solution
| Distribuer. | $$\dfrac{3}{4} \cdot n + \dfrac{3}{4} \cdot 12$$ |
| Multiplier. | $$\dfrac{3}{4}n + 9$$ |
Exercice \(\PageIndex{7}\) :
Simplifiez : \(\dfrac{2}{5}\)(p + 10).
- Répondre
-
\(\frac{2}{5}p + 4 \)
Exercice \(\PageIndex{8}\) :
Simplifiez : \(\dfrac{3}{7}\)(u + 21).
- Répondre
-
\(\frac{3}{7}u +9 \)
Exemple \(\PageIndex{5}\) :
Simplifier : \(8 \left(\dfrac{3}{8}x + \dfrac{1}{4}\right)\).
Solution
| Distribuer. | $$8 \cdot \dfrac{3}{8}x + 8 \cdot \dfrac{1}{4}$$ |
| Multiplier. | $$3x + 2$$ |
Exercice \(\PageIndex{9}\) :
Simplifiez : \(6 \left(\dfrac{5}{6}y + \dfrac{1}{2}\right)\).
- Répondre
-
5 ans + 3
Exercice \(\PageIndex{10}\) :
Simplifier : \(12 \left(\dfrac{1}{3}n + \dfrac{3}{4}\right)\).
- Répondre
-
4n + 9
L'utilisation de la propriété distributive comme indiqué dans l'exemple suivant sera très utile lorsque nous résoudrons des applications d'argent plus tard.
Exemple \(\PageIndex{6}\) :
Simplifier : 100(0,3 + 0,25q).
Solution
| Distribuer. | $$100(0.3) + 100(0.25q)$$ |
| Multiplier. | $$30 + 25q$$ |
Exercice \(\PageIndex{11}\) :
Simplifier : 100(0,7 + 0,15p).
- Répondre
-
70 + 15p
Exercice \(\PageIndex{12}\) :
Simplifier : 100(0,04 + 0,35d).
- Répondre
-
4 + 35j
Dans l'exemple suivant, nous multiplierons par une variable. Nous devrons le faire dans un chapitre ultérieur.
Exemple \(\PageIndex{7}\) :
Simplifier : \(m(n − 4)\).
Solution
| Distribuer. | $$m \cdot n - m \cdot 4$$ |
| Multiplier. | $$mn - 4m$$ |
Remarquez que nous avons écrit m • 4 comme 4m. Nous pouvons le faire grâce à la propriété commutative de la multiplication. Lorsqu'un terme est le produit d'un nombre et d'une variable, on écrit d'abord le nombre.
Exercice \(\PageIndex{13}\) :
Simplifier : r(s − 2).
- Répondre
-
rs - 2r
Exercice \(\PageIndex{14}\) :
Simplifier : y(z − 8).
- Répondre
-
ans - 8 ans
Le prochain exemple utilisera la forme « inversée » de la propriété distributive, (b + c)a = ba + ca.
Exemple \(\PageIndex{8}\) :
Simplifier : (x + 8)p.
Solution
| Distribuer. | $$px + 8p$$ |
Exercice \(\PageIndex{15}\) :
Simplifier : (x + 2)p.
- Répondre
-
xp + 2p
Exercice \(\PageIndex{16}\) :
Simplifier : (y + 4)q.
- Répondre
-
yq + 4q
Lorsque vous distribuez un nombre négatif, vous devez faire très attention pour que les signes soient corrects.
Exemple \(\PageIndex{9}\) :
Simplifier : −2(4y + 1).
Solution
| Distribuer. | $$-2 \cdot 4y + (-2) \cdot 1$$ |
| Simplifier. | $$-8a - 2$$ |
Exercice \(\PageIndex{17}\) :
Simplifier : −3(6m + 5).
- Répondre
-
-18m - 15
Exercice \(\PageIndex{18}\) :
Simplifier : −6(8n + 11).
- Répondre
-
-48n - 66
Exemple \(\PageIndex{10}\) :
Simplifier : −11(4 − 3a).
Solution
| Distribuer. | $$-11 \cdot 4 - (-11) \cdot 3a$$ |
| Multiplier. | $$-44 - (-33a)$$ |
| Simplifier. | $$-44 + 33a$$ |
Vous pouvez aussi écrire le résultat sous la forme 33a − 44. Savez-vous pourquoi ?
Exercice \(\PageIndex{19}\) :
Simplifier : −5(2 − 3a).
- Répondre
-
-10 + 15a
Exercice \(\PageIndex{20}\) :
Simplifier : −7(8 − 15y).
- Répondre
-
-56 + 105a
Dans l'exemple suivant, nous montrerons comment utiliser la propriété distributive pour trouver l'opposé d'une expression. Rappelez-vous, −a = −1 • a.
Exemple \(\PageIndex{11}\) :
Simplifier : −(y + 5).
Solution
| Multiplier par −1 donne le contraire. | $$-1 (a + 5)$$ |
| Distribuer. | $$-1 \cdot y + (-1) \cdot 5$$ |
| Simplifier. | $$-y + (-5)$$ |
| Simplifier. | $$-an -5$$ |
Exercice \(\PageIndex{21}\) :
Simplifier : −(z − 11).
- Répondre
-
-z + 11
Exercice \(\PageIndex{22}\) :
Simplifier : −(x − 4).
- Répondre
-
-x + 4
Parfois, nous devons utiliser la propriété distributive dans le cadre de l'ordre des opérations. Commencez par regarder les parenthèses. Si l'expression entre parenthèses ne peut pas être simplifiée, l'étape suivante consiste à multiplier à l'aide de la propriété distributive, qui supprime les parenthèses. Les deux exemples suivants illustreront cela.
Exemple \(\PageIndex{12}\) :
Simplifier : 8 − 2(x + 3).
Solution
| Distribuer. | $$8 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3$$ |
| Multiplier. | $$8 - 2x - 6$$ |
| Combinez des termes similaires. | $$-2x + 2$$ |
Exercice \(\PageIndex{23}\) :
Simplifier : 9 − 3(x + 2).
- Répondre
-
-3x + 3
Exercice \(\PageIndex{24}\) :
Simplifier : 7x − 5(x + 4).
- Répondre
-
2x - 20
Exemple \(\PageIndex{13}\) :
Simplifier : 4(x − 8) − (x + 3).
Solution
| Distribuer. | $$4x - 32 - x - 3$$ |
| Combinez des termes similaires. | $$3x - 35$$ |
Exercice \(\PageIndex{25}\) :
Simplifier : 6(x − 9) − (x + 12).
- Répondre
-
5x - 66
Exercice \(\PageIndex{26}\) :
Simplifier : 8(x − 1) − (x + 5).
- Répondre
-
7x - 13
Évaluer des expressions à l'aide de la propriété distributive
Certains étudiants doivent être convaincus que la propriété distributive fonctionne toujours. Dans les exemples ci-dessous, nous nous exercerons à évaluer certaines des expressions des exemples précédents ; dans la partie (a), nous évaluerons la forme avec des parenthèses, et dans la partie (b) nous évaluerons la forme que nous avons obtenue après la distribution. Si nous évaluons correctement les deux expressions, cela montrera qu'elles sont bien égales.
Exemple \(\PageIndex{14}\) :
Lorsque y = 10 évaluer : (a) 6(5y + 1) (b) 6 • 5y + 6 • 1.
Solution
(a) 6(5a + 1)
| Remplacez \(\textcolor{red}{10}\) par y. | $$6(5 \cdot \textcolor{rouge}{10} + 1)$$ |
| Simplifiez entre parenthèses. | $$6(51)$$ |
| Multiplier. | $$306$$ |
(b) 6 • 5 ans + 6 • 1
| Remplacez \(\textcolor{red}{10}\) par y. | $$6 \cdot 5 \cdot \textcolor{red}{10} + 6 \cdot 1$$ |
| Simplifier. | $$300 + 6$$ |
| Ajouter. | $$306$$ |
Remarquez, les réponses sont les mêmes. Lorsque y = 10, 6(5y + 1) = 6 • 5y + 6 • 1. Essayez vous-même pour une valeur différente de y.
Exercice \(\PageIndex{27}\) :
Évaluer quand w = 3 : (a) 5(5w + 9) (b) 5 • 5w + 5 • 9.
- Répondre à un
-
\(120\)
- Réponse b
-
\(120\)
Exercice \(\PageIndex{28}\) :
Évaluer quand y = 2 : (a) 9(3y + 8) (b) 9 • 3y + 9 • 8.
- Répondre à un
-
\(126\)
- Réponse b
-
\(126\)
Exemple \(\PageIndex{15}\) :
Lorsque y = 3, évaluez (a) −2(4y + 1) (b) −2 • 4y + (−2) • 1.
Solution
(a) −2(4y + 1)
| Remplacez \(\textcolor{rouge}{3}\) par y. | $$-2(4 \cdot \textcolor{rouge}{3} + 1)$$ |
| Simplifiez entre parenthèses. | $$-2(13)$$ |
| Multiplier. | $$-26$$ |
(b) −2 • 4y + (−2) • 1
| Remplacez \(\textcolor{rouge}{3}\) par y. | $$-2 \cdot 4 \cdot \textcolor{rouge}{3} + (-2) \cdot 1$$ |
| Multiplier. | $$-24 - 2$$ |
| Soustraire. | $$-26$$ |
| Les réponses sont les mêmes lorsque y = 3. | $$-2(4a + 1) = -8a - 2$$ |
Exercice \(\PageIndex{29}\) :
Évaluer quand n = −2 : (a) −6(8n + 11) (b) −6 • 8n + (−6) • 11.
- Répondre à un
-
\(30\)
- Réponse b
-
\(30\)
Exercice \(\PageIndex{30}\) :
Évaluer quand m = −1 : (a) −3(6m + 5) (b) −3 • 6m + (−3) • 5.
- Répondre à un
-
\(3\)
- Réponse b
-
\(3\)
Exemple \(\PageIndex{16}\) :
Lorsque y = 35 évaluez (a) −(y + 5) et (b) −y − 5 pour montrer que −(y + 5) = −y − 5.
Solution
(a) −(y + 5)
| Remplacez \(\textcolor{red}{35}\) par y. | $$-(\textcolor{rouge}{35} + 5)$$ |
| Ajouter entre parenthèses. | $$-(40)$$ |
| Simplifier. | $$-40$$ |
(b) −y − 5
| Remplacez \(\textcolor{red}{35}\) par y. | $$-\textcolor{rouge}{35} - 5$$ |
| Simplifier. | $$-40$$ |
| Les réponses sont les mêmes lorsque y = 35, démontrant que | $$-(y + 5) = -y - 5$$ |
Exercice \(\PageIndex{31}\) :
Évaluer quand x = 36 : (a) −(x − 4) (b) −x + 4 pour montrer que −(x − 4) = − x + 4.
- Répondre à un
-
\(-32\)
- Réponse b
-
\(-32\)
Exercice \(\PageIndex{32}\) :
Évaluer quand z = 55 : (a) −(z − 10) (b) −z + 10 pour montrer que −(z − 10) = − z + 10.
- Répondre à un
-
\(-45\)
- Réponse b
-
\(-45\)
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Répartition du modèle
La propriété distributive
C'est en forgeant qu'on devient forgeron
Simplifier les expressions à l'aide de la propriété distributive
Dans les exercices suivants, simplifiez en utilisant la propriété distributive.
- 4(x + 8)
- 3(a + 9)
- 8(4a + 9)
- 9(3w + 7)
- 6(c − 13)
- 7(y − 13)
- 7(3p − 8)
- 5(7u − 4)
- \(\dfrac{1}{2}\)(n + 8)
- \(\dfrac{1}{3}\)(u + 9)
- \(\dfrac{1}{4}\)(3q + 12)
- \(\dfrac{1}{5}\)(4m + 20)
- \(9 \left(\dfrac{5}{9} y − \dfrac{1}{3}\right)\)
- \(10 \left(\dfrac{3}{10} x − \dfrac{2}{5}\right)\)
- \(12 \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} r\right)\)
- \(12 \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4} s\right)\)
- r(s − 18)
- u(v − 10)
- (y + 4)p
- (a + 7)x
- −2(y + 13)
- −3(a + 11)
- −7(4p + 1)
- −9(9a + 4)
- −3(x − 6)
- −4(q − 7)
- −9(3a − 7)
- −6(7x − 8)
- −(r + 7)
- −(q + 11)
- −(3x − 7)
- −(5p − 4)
- 5 + 9(n − 6)
- 12 + 8(u − 1)
- 16 − 3(y + 8)
- 18 − 4(x + 2)
- 4 - 11(3c - 2)
- 9 − 6(7n − 5)
- 22 − (a + 3)
- 8 − (r − 7)
- −12 − (u + 10)
- −4 − (c − 10)
- (5m − 3) − (m + 7)
- (4y − 1) − (y − 2)
- 5(2n + 9) + 12(n − 3)
- 9(5u + 8) + 2(u − 6)
- 9(8x − 3) − (−2)
- 4(6x − 1) − (−8)
- 14(c − 1) − 8(c − 6)
- 11(n-7)-5(n-1)
- 6(7a + 8) − (30a − 15)
- 7(3n + 9) − (4n − 13)
Évaluer des expressions à l'aide de la propriété distributive
Dans les exercices suivants, évaluez les deux expressions pour la valeur donnée.
- Si v = −2, évaluer
- 6(4v + 7)
- 6 · 4v + 6 · 7
- Si u = −1, évaluer
- 8(5ème + 12)
- 8 · 5ème + 8 · 12
- Si n = \(\dfrac{2}{3}\), évaluer
- \(3 \left(n + \dfrac{5}{6}\right)\)
- 3 • n + 3 • \(\dfrac{5}{6}\)
- Si y = 3 4 , évaluer
- 4 ⎛ ⎝ y + 3 8 ⎞ ⎠
- 4 • y + 4 • \(\dfrac{3}{8}\)
- Si y = \(\dfrac{7}{12}\), évaluer
- −3(4a + 15)
- 3 • 4 ans + (−3) • 15
- Si p = \(\dfrac{23}{30}\), évaluer
- −6(5p + 11)
- −6 • 5p + (−6) • 11
- Si m = 0,4, évaluer
- −10(3m − 0.9)
- −10 • 3m − (−10)(0.9)
- Si n = 0,75, évaluer
- −100(5n + 1,5)
- −100 • 5n + (−100)(1.5)
- Si y = −25, évaluer
- −(y − 25)
- −y + 25
- Si w = −80, évaluer
- −(w − 80)
- −w + 80
- Si p = 0,19, évaluer
- −(p + 0,72)
- −p−0.72
- Si q = 0,55, évaluer
- −(q + 0,48)
- −q−0.48
Mathématiques de tous les jours
- Achat à la caisseJoe peut acheter son thé glacé préféré dans un dépanneur pour 1,99 $ la bouteille. À l'épicerie, il peut acheter une caisse de 12 bouteilles pour 23,88 $.
- Utilisez la propriété distributive pour trouver le coût de 12 bouteilles achetées individuellement au dépanneur. (Astuce : notez que 1,99 $ équivaut à 2 $ − 0,01 $.)
- Est-ce une bonne affaire d'acheter le thé glacé à l'épicerie à la caisse ?
- Achat multi-packLe shampoing d'Adele se vend 3,97 $ la bouteille à la pharmacie. Au magasin-entrepôt, le même shampooing est vendu en pack de 3 pour 10,49 $.
- Montrez comment vous pouvez utiliser la propriété distributive pour trouver le coût de 3 bouteilles achetées individuellement à la pharmacie.
- Combien Adele économiserait-elle en achetant le pack de 3 au magasin-entrepôt ?
Exercices d'écriture
- Simplifiez \(8 \left(x − \dfrac{1}{4}\right)\) en utilisant la propriété distributive et expliquez chaque étape.
- Expliquez comment vous pouvez multiplier 4 (5,97 $) sans papier ni calculatrice en pensant à 5,97 $ comme 6 − 0,03, puis en utilisant la propriété distributive.
Auto contrôle
(a) Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.
(b) Que vous dit cette liste de contrôle sur votre maîtrise de cette section ? Quelles mesures prendrez-vous pour vous améliorer ?
Contributeurs et attributions
Lynn Marecek (Santa Ana College) et MaryAnne Anthony-Smith (anciennement du Santa Ana College). Ce contenu est sous licence Creative Commons Attribution License v4.0 "Télécharger gratuitement surhttp://cnx.org/contents/fd53eae1-fa2...49835c3c@5.191."
