Factoriser des polynômes en prenant un facteur commun (article) | Académie Khan (2024)

LeFVC(plus grand facteur commun) de deux monômes ou plus est le produit de tous leurs facteurs premiers communs. Par exemple, le GCF de$6x$6X6, xet$4x^2$4X24, x, au carréest$2x$2X2,x.

Dans cette leçon, vous apprendrez à factoriser des facteurs communs à partir de polynômes.

Pour comprendre comment factoriser les facteurs communs, nous devons comprendre lespropriété distributive.

Par exemple, nous pouvons utiliser la propriété distributive pour trouver le produit de$3x^2$3X23, x, au carréet$4x+3$4X+34, x, plus, 3comme indiqué ci-dessous:

Remarquez comment chaque terme du binôme a été multiplié par un facteur commun de$\bleuE{3x^2}$3X2couleur de début #0c7f99, 3, x, carré, couleur de fin #0c7f99.

Cependant, comme la propriété distributive est une égalité, l'inverse de ce processus est également vrai !

Si nous commençons par$3x^2(4x)+3x^2(3)$3X2(4X)+3X2(3)3, x, au carré, parenthèse gauche, 4, x, parenthèse droite, plus, 3, x, au carré, parenthèse gauche, 3, parenthèse droite, nous pouvons utiliser la propriété distributive pourfactoriser $\bleuE{3x^2}$3X2couleur de début #0c7f99, 3, x, carré, couleur de fin #0c7f99et obtenir$3x^2(4x+3)$3X2(4X+3)3, x, carré, parenthèse gauche, 4, x, plus, 3, parenthèse droite.

L'expression résultante est dansforme factoriséeparce qu'il est écrit comme unproduitde deux polynômes, alors que l'expression originale est une somme à deux termes.

Pour factoriser le GCF d'un polynôme, nous procédons comme suit :

1. Trouvez le PGCF de tous les termes du polynôme.
2. Exprimez chaque terme sous la forme d'un produit du PGCF et d'un autre facteur.
3. Utilisez la propriété distributive pour factoriser le GCF.

Distinguons le GCF de$2x^3-6x^2$2X3−6X22, x, au cube, moins, 6, x, au carré.

Étape 1 : Trouver le GCF

• $2x^3=\maroonD2\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x$2X3=2⋅X⋅X⋅X2, x, cube, égal, couleur de début #ca337c, 2, couleur de fin #ca337c, point, couleur de début #e07d10, x, couleur de fin #e07d10, point, couleur de début #e07d10, x, couleur de fin #e07d10, point, x
• $6x^2=\maroonD2\cdot 3\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}$6X2=2⋅3⋅X⋅X6, x, carré, égal, couleur de début #ca337c, 2, couleur de fin #ca337c, point, 3, point, couleur de début #e07d10, x, couleur de fin #e07d10, point, couleur de début #e07d10, x, couleur de fin #e07d10

Donc le GCF de$2x^3-6x^2$2X3−6X22, x, au cube, moins, 6, x, au carréest$\maroonD2 \cdot \goldD x \cdot \goldD x=\blueE{2x^2}$2⋅X⋅X=2X2couleur de début #ca337c, 2, couleur de fin #ca337c, point, couleur de début #e07d10, x, couleur de fin #e07d10, point, couleur de début #e07d10, x, couleur de fin #e07d10, égal, couleur de début #0c7f99, 2, x, carré, couleur de fin #0c7f99.

Étape 2 : Exprimez chaque terme sous la forme d'un produit de$\bleuE{2x^2}$2X2couleur de début #0c7f99, 2, x, carré, couleur de fin #0c7f99et un autre facteur.

• $2x^3=(\bleuE{2x^2})({x})$2X3=(2X2)(X)2, x, au cube, égal, parenthèse gauche, couleur de début #0c7f99, 2, x, carré, couleur de fin #0c7f99, parenthèse droite, parenthèse gauche, x, parenthèse droite
• $6x^2=(\bleuE{2x^2})({3})$6X2=(2X2)(3)6, x, carré, égal, parenthèse gauche, couleur de début #0c7f99, 2, x, carré, couleur de fin #0c7f99, parenthèse droite, parenthèse gauche, 3, parenthèse droite

Donc le polynôme peut s'écrire$2x^3-6x^2=(\blueE{2x^2})( x)-(\blueE{2x^2}) ( 3)$2X3−6X2=(2X2)(X)−(2X2)(3)2, x, cube, moins, 6, x, carré, égal, parenthèse gauche, couleur de début #0c7f99, 2, x, carré, couleur de fin #0c7f99, parenthèse droite, parenthèse gauche, x, parenthèse droite, moins, parenthèse gauche, couleur de début #0c7f99, 2, x, carré, couleur de fin #0c7f99, parenthèse droite, parenthèse gauche, 3, droite parenthèse.

Étape 3 : Factoriser le GCF

Maintenant, nous pouvons appliquer la propriété distributive pour factoriser$\tealD{2x^2}$2X2couleur de début #01a995, 2, x, carré, couleur de fin #01a995.

Vérification de notre résultat

Nous pouvons vérifier notre factorisation en multipliant$2x^2$2X22, x, au carréretour dans le polynôme.

Puisque c'est le même que le polynôme d'origine, notre factorisation est correcte !

Si vous vous sentez à l'aise avec le processus de factorisation du GCF, vous pouvez utiliser une méthode plus rapide :

Une fois que nous connaissons le PGCF, la forme factorisée est simplement le produit de ce PGCF et de la somme des termes du polynôme d'origine divisé par le PGCF.

Voyez, par exemple, comment nous utilisons cette méthode rapide pour factoriser$5x^2+10x$5X2+10X5, x, au carré, plus, 10, x, dont le GCF est$\bleuE{5x}$5Xcouleur de début #0c7f99, 5, x, couleur de fin #0c7f99:

Le diviseur commun d'un polynôme ne doit pas nécessairement être un monôme.

Par exemple, considérons le polynôme$x(2x-1)-4(2x-1)$X(2X−1)−4(2X−1)x, parenthèse gauche, 2, x, moins, 1, parenthèse droite, moins, 4, parenthèse gauche, 2, x, moins, 1, parenthèse droite.

Remarquez que le binôme$\bleuE{2x-1}$2X−1couleur de début #0c7f99, 2, x, moins, 1, couleur de fin #0c7f99est commun aux deux termes. Nous pouvons factoriser cela en utilisant la propriété distributive :

Il peut sembler que nous ayons utilisé le terme "facteur" pour décrire plusieurs processus différents :

• Nous avons factorisé les monômes en les écrivant comme un produit d'autres monômes. Par exemple,$12x^2=(4x)(3x)$12X2=(4X)(3X)12, x, carré, égal, parenthèse gauche, 4, x, parenthèse droite, parenthèse gauche, 3, x, parenthèse droite.

• Nous avons factorisé le GCF à partir de polynômes en utilisant la propriété distributive. Par exemple,$2x^2+12x=2x(x+6)$2X2+12X=2X(X+6)2, x, au carré, plus, 12, x, est égal à, 2, x, parenthèse gauche, x, plus, 6, parenthèse droite.

• Nous avons factorisé les facteurs binomiaux communs qui ont abouti à une expression égale au produit de deux binômes. Par exemple:

Bien que nous ayons utilisé différentes techniques, dans chaque cas nous écrivons le polynôme sous la forme d'unproduitde deux facteurs ou plus. Ainsi, dans les trois exemples, nous avons en effetfactoriséle polynôme.